半波整流电压 0.45 常数的来源和含义

不是说半波整流 输入有效值 *0.45= 输出平均值吗
然后问 AI 又说不对，是 *π

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AI 被误导了。于是发现这是一个“有效值”和“平均值”的问题。然后我又想，这道题的最大反向就是在问峰值电压，那还要 有效值 *√2
又一算，就发现
√2/0.45≈3.14269
不就是 π 吗？太神奇了
那就是说“0.45”更准确的值应该是 0.4501581580785
即 √2/π

再往下钻研的话：

以下由 Gemini` 2.5 Pro 推导：

1. 理解交流电压 (AC)

波形： 我们通常接触的交流电（比如市电）的电压是随时间变化的，其波形是正弦波（Sine Wave）。

数学表示： 瞬时电压可以表示为：

$$
v(t) = V_p \cdot \sin(\omega t)
$$

其中：

  • $v(t)$：表示在时间 $t$ 的瞬时电压值。
  • $V_p$：表示峰值电压（Peak Voltage），也就是正弦波能达到的最大电压值。
  • $\sin()$：是三角函数中的正弦函数，它描述了电压如何随时间周期性变化。
  • $\omega$：是角频率（Angular Frequency），它与电源的频率 $f$（比如中国的 50Hz）有关，$\omega = 2\pi f$。
  • $\omega t$：代表相位角，表示在时间 $t$ 时波形进行到了哪个阶段。一个完整的周期是 $2\pi$ 弧度（或 360 度）。

有效值（RMS）： 我们通常说的“220V交流电”，这个 220V 指的是有效值（Root Mean Square, RMS），而不是峰值。有效值是根据交流电产生的热效应来定义的，它等于一个产生相同热效应的直流电压的值。

峰值与有效值的关系： 对于正弦波，峰值电压 $V_p$ 和有效值电压 $V_{\text{rms}}$ 的关系是：

$$
V_p = V_{\text{rms}} \cdot \sqrt{2}
$$

或者：

$$
V_{\text{rms}} = \frac{V_p}{\sqrt{2}}
$$

2. 理解半波整流 (Half-Wave Rectification)

目的： 将交流电（AC）转换为脉动的直流电（Pulsating DC）。

原理： 通常使用一个二极管（Diode）来实现。二极管具有单向导电性，只允许电流朝一个方向流动。

过程：

  • 当交流电压处于正半周时（电压为正），二极管导通，电流流过负载，负载上得到正弦波的正半部分。
  • 当交流电压处于负半周时（电压为负），二极管截止，没有电流流过负载，负载上的电压为零。

输出波形： 输出不再是完整的正弦波，而是只有正半周的波形，负半周被“砍掉”了，变成了零。在一个周期内，有一半时间有电压输出（形状是半个正弦波），另一半时间输出为零。

3. 计算输出电压的平均值（Average DC Value）

我们关心的是整流后得到的“直流”分量是多少。对于这种脉动的电压，我们通常计算其平均值（Average Value），这代表了在一个完整周期内电压的平均效果。这个平均值就是我们通常用直流电压表测量的数值。

为什么要计算平均值？ 因为输出电压虽然方向不变（都是正的或零），但大小是不断变化的。平均值能代表这个脉动直流电压的整体“强度”。

如何计算平均值？ 对于周期性变化的量，计算平均值需要用到积分（Integration）。

4. 理解积分符号 ∫

积分的本质： 积分符号 ∫ 可以理解为 “求和（Summation）” 的意思，但不是简单地把几个数加起来，而是把连续变化的量在某个范围内的无穷小片段累加起来。

几何意义： 在函数图像上，定积分 $\int_a^b f(x) , dx$ 计算的是函数 $f(x)$ 的曲线在 $x=a$ 到 $x=b$ 这段区间与 $x$ 轴所围成的面积。

解释如下：

  • $\int$：积分符号，像一个拉长的 S（Summation 的首字母）。
  • $a$ 和 $b$：积分的下限和上限，表示我们关心的范围。
  • $f(x)$：被积分的函数，也就是我们想要累加的那个连续变化的量（在这里是瞬时电压 $v_{\text{out}}(t)$）。
  • $dx$（或 $dt$，$d(\omega t)$）：表示一个无穷小的片段（无穷小的宽度）。$f(x)dx$ 可以看作是一个极窄的矩形面积（高是 $f(x)$，宽是 $dx$）。积分就是把无数个这样的小矩形面积加起来。

5. 推导过程

我们要计算半波整流后输出电压 $v_{\text{out}}(t)$ 在一个完整周期 $T$（或 $2\pi$ 弧度）内的平均值 $V_{\text{avg}}$。

输出电压 $v_{\text{out}}(t)$ 在一个周期 $[0, 2\pi]$ 内的情况：

  • 当 $0 \leq \omega t \leq \pi$（前半个周期）： $v_{\text{out}}(\omega t) = V_p \cdot \sin(\omega t)$
  • 当 $\pi \leq \omega t \leq 2\pi$（后半个周期）： $v_{\text{out}}(\omega t) = 0$

平均值的计算公式：

$$
V_{\text{avg}} = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} v_{\text{out}}(\omega t) , d(\omega t)
$$

将积分区间分成两部分：

$$
V_{\text{avg}} = \frac{1}{2\pi} \left[ \int_0^{\pi} V_p \cdot \sin(\omega t) , d(\omega t) + \int_{\pi}^{2\pi} 0 \cdot d(\omega t) \right]
$$

第二部分为 0，所以只需要计算第一部分：

$$
V_{\text{avg}} = \frac{1}{2\pi} \int_0^{\pi} V_p \cdot \sin(\omega t) , d(\omega t)
$$

积分结果（微积分知识）：

$$
\int_0^{\pi} V_p \cdot \sin(\omega t) , d(\omega t) = V_p \cdot [-\cos(\omega t)]_0^{\pi}
= V_p \cdot \left[ -\cos(\pi) + \cos(0) \right]
= V_p \cdot [1 + 1] = 2 V_p
$$

代回平均值公式：

$$
V_{\text{avg}} = \frac{1}{2\pi} \cdot 2 V_p = \frac{V_p}{\pi}
$$

分解解释：

1. 为什么区间算平均值要除以 $2\pi$？这涉及到如何计算一个周期函数在一个完整周期内的平均值。

基本平均值概念：回想一下计算一组离散数字（比如 5, 8, 2）的平均值，你会把它们加起来（$5 + 8 + 2 = 15$），然后除以数字的个数（3），得到平均值 $15 / 3 = 5$。

推广到连续函数：对于随时间（或角度）连续变化的量，比如电压 $v(t)$，我们不能简单地“数个数”。但是，我们可以用积分来“累加”这些连续变化的值在一个区间内的总量。

积分 $\int_a^b f(x), dx$ 计算的是函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的“累积效应”或者说曲线下方的“面积”。

平均值的定义：一个函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值，定义为该区间上的积分值除以该区间的长度。

$$
\text{平均值} = \frac{1}{b - a} \int_a^b f(x), dx
$$

应用到我们的问题：

我们计算的是半波整流后输出电压 $v_{\text{out}}(\omega t)$ 的平均值。
我们关心的是在一个完整的输入交流电周期内的平均表现。
交流电的完整周期，在用角度 $\omega t$ 表示时，是从 $0$ 到 $2\pi$ 弧度（相当于 $0$ 到 $360^\circ$）。

所以，我们计算平均值的区间是 $[0, 2\pi]$。
这个区间的长度是 $2\pi - 0 = 2\pi$。

结论：因此，为了计算 $v_{\text{out}}(\omega t)$ 在一个完整周期（$0$ 到 $2\pi$）内的平均值 $V_{\text{avg}}$，我们需要计算电压在这个周期内的总积分（即 $\int_0^{2\pi} v_{\text{out}}(\omega t), d(\omega t)$），然后除以这个周期的长度 $2\pi$。

$$
V_{\text{avg}} = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} v_{\text{out}}(\omega t), d(\omega t)
$$

简单类比：想象一下你在测量一条长度为 $2\pi$ 米的弯曲路径的海拔高度。$v_{\text{out}}(\omega t)$ 就像是在路径上每一点的海拔高度。

积分 $\int_0^{2\pi} v_{\text{out}}(\omega t), d(\omega t)$ 就好像是计算了这条路径“海拔高度-路径长度”图下方的总面积。

为了得到这条路径的“平均海拔”，你需要用这个总面积除以路径的总长度 $2\pi$。

注，另一种方法：求面积的奇特方法，你绝对没见过 UP主: 仙童数学 - https://www.bilibili.com/video/BV1nv4y1F7yQ

2. 详细讲解积分计算部分：$\int_0^\pi V_p \cdot \sin(\omega t), d(\omega t) = 2V_p$

这部分计算的是正半周（即 $\omega t$ 从 $0$ 到 $\pi$）电压波形下的面积。我们一步步来：

1. 确定被积函数和积分变量：
我们要积分的函数是 $V_p \cdot \sin(\omega t)$。
积分是关于变量 $\omega t$ 进行的。

$V_p$ 是峰值电压，它是一个常数，不随 $\omega t$ 变化。

2. 提出常数：根据积分的性质，常数因子可以提到积分符号外面：

$$
\int_0^\pi V_p \cdot \sin(\omega t), d(\omega t) = V_p \cdot \int_0^\pi \sin(\omega t), d(\omega t)
$$

现在我们只需要关注 $\int_0^\pi \sin(\omega t), d(\omega t)$ 这个积分。

3. 找到不定积分（反导数）：

我们需要找到一个函数，它的导数（相对于 $\omega t$）是 $\sin(\omega t)$。
我们知道 $\cos(x)$ 的导数是 $-\sin(x)$。
那么 $-\cos(x)$ 的导数就是 $-(-\sin(x)) = \sin(x)$。
所以，$\sin(\omega t)$ 的一个不定积分（反导数）是 $-\cos(\omega t)$。

4. 应用牛顿-莱布尼茨公式（微积分基本定理）：

这个定理告诉我们如何计算定积分。如果 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个反导数，那么：

$$
\int_a^b f(x), dx = F(b) - F(a)
$$

这里的 $[F(x)]_a^b$ 记号就表示 $F(b) - F(a)$。

在我们的例子中，$f(\omega t) = \sin(\omega t)$，反导数 $F(\omega t) = -\cos(\omega t)$，积分区间是 $[0, \pi]$。

所以，

$$
\int_0^\pi \sin(\omega t), d(\omega t) = [-\cos(\omega t)]_0^\pi
$$

这表示：

$$
[-\cos(\pi)] - [-\cos(0)]
$$

5. 计算三角函数值：

$\cos(\pi)$ （180度的余弦值）$= -1$

$\cos(0)$ （0度的余弦值）$= 1$

6. 代入计算：

$$
[-(-1)] - [-1] = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2
$$

7. 乘回常数 $V_p$：

不要忘了我们在第2步提出的常数 $V_p$。

$$
V_p \cdot \int_0^\pi \sin(\omega t), d(\omega t) = V_p \cdot 2 = 2V_p
$$

总结这个部分：

计算 $\int_0^\pi V_p \cdot \sin(\omega t), d(\omega t)$ 的过程是：

  • 把常数 $V_p$ 提出来。
  • 找到 $\sin(\omega t)$ 的反导数 $-\cos(\omega t)$。
  • 用牛顿-莱布尼茨公式，计算反导数在上限 $\pi$ 的值减去在下限 0 的值：$[-\cos(\pi)] - [-\cos(0)] = 2$。
  • 将提出的常数 $V_p$ 乘回去，得到 $2V_p$。

这个 $2V_p$ 就是半波整流后，在一个周期内有电压输出的那部分（正弦波的正半拱）下方的面积。

将这个面积除以整个周期的长度 $2\pi$，就得到了平均电压：

$$
V_{\text{avg}} = \frac{2V_p}{2\pi} = \frac{V_p}{\pi}
$$

分解完成

下一步，将结果与输入有效值 $V_{\text{rms}}$ 联系起来：

已知：

$$
V_p = V_{\text{rms}} \cdot \sqrt{2}
$$

代入上式：

$$
V_{\text{avg}} = \frac{V_{\text{rms}} \cdot \sqrt{2}}{\pi}
$$

计算系数：

  • $\sqrt{2} \approx 1.414$
  • $\pi \approx 3.14159$

所以：

$$
\frac{\sqrt{2}}{\pi} \approx \frac{1.414}{3.14159} \approx 0.4501…
$$

最终结论：

$$
V_{\text{avg}} \approx 0.45 \cdot V_{\text{rms}}
$$

总结：

半波整流后的平均直流电压 $V_{\text{avg}}$ 大约是输入交流电压有效值 $V_{\text{rms}}$ 的 0.45 倍。这个 0.45 的系数来源于：

  • 计算的是整流后波形在一个完整周期内的平均值。
  • 这个平均值是通过积分（累加瞬时值）得到的。积分计算的是正弦波正半周下的面积 $2V_p$。
  • 将这个面积除以整个周期 $2\pi$ 得到平均高度 $V_p / \pi$。
  • 最后将峰值电压 $V_p$ 替换为用有效值 $V_{\text{rms}}$ 表示，得到：

$$
V_{\text{avg}} = \frac{\sqrt{2}}{\pi} \cdot V_{\text{rms}} \approx 0.45 \cdot V_{\text{rms}}
$$

重要提示：

  • 这个推导假设使用的是理想二极管，即没有正向压降。实际的硅二极管大约有 0.6V 到 0.7V 的正向压降，所以在低电压情况下，实际输出的平均电压会比理论值稍低。
  • 输出的是脉动直流，而不是平滑的直流。如果需要平滑的直流，通常还需要加上滤波电容。